A. Number

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Subtask 1,3

对于Subtask 3，我们计算发现 10^k+x\le 2\times10^{18}，因此我们可以使用long long保存 10^k，直接计算结果。

如何计算 10^k 呢？这里有三种写法：

• 一个for循环将一个初始为 1 的变量进行 k 次乘 10。
• 预处理出pw[20]={1,1e1,1e2,1e3,1e4,...,1e18}。
• 使用math.h或者cmath库内的pow(10,k)

注意：使用后两种写法，处理结果是double型，请强制转long long或者%.0lf输出。

Subtask 1是留给忘记开long long，只开了int的同学的。

Subtask 2

我们先假设 k>0，选几个数看看——

10^9+7=1000000007，这里一共 8 个零。

我们观察一下 10^9+7=1000000007，发现中间有 8 个零。

换一个数，10^6+0=1000000，可以看作 5 个零，后面补个 x。

因此先输出 1 ，后面跟 k-1 个零，最后输出 x。

务必注意上述条件成立当且仅当 k>0，你需要特判 k=0 的情况，也就是输出 x+1。

Subtask 4,5(I)

首先，如果 10^k\le x，直接计算。Subtask 4是留给忘记这个特判的同学的。

我们尝试进行一些小学生计算：

我们发现：假设数字 x 有 s 位，那么 10^k+x 就由一个 1 ，k-s 个 0，最后末尾加入 x 构成。

如何计算一个数 x 的位数呢？下面是几种常见写法：

• 定义变量 y，每次 y 变成原来的 \frac{1}{10}，s 就加一。特别注意：x=0 的情况需要特判。
• 用sprintf(ord,"%d",x)语句输出到char ord[]字符串中，然后使用strlen(ord)求长度。
• 使用floor(log10(x))+1计算位数。注意：下取整后加一，x=0 要特判。

Subtask 4,5(II)

这里主要讲一些特殊方法，一般同学稍作了解即可，不知道也没有问题。

Python大法

Python大法

Python由于自带高精，做这种事情自然是十分方便的。下面是参考Python3代码：

a=input().split()
print(pow(10,int(a[0]))+int(a[1]))

C++自带函数法

我们观察这个竖式，可以将 10^k>x 的情况换一种形式：

> 先输出字符1，然后将 x 以固定的长度 k 输出，不足 k 位用前导零补齐。

在C/C++中，printf就可以上面的操作：

//在主函数中加入这句
printf("%019d",19810);

你的输出是不是0000000000000019810？

因此，如果我们要计算 10^{20}+x，我们可以这么写：

printf("1%020d",x);

为了让计算机自动给我们把 k 填入printf语句中，我们需要使用sprintf函数：

//假设k=6,x=35
char ord[15];
sprintf(ord,"1%%0%dlld",k);//想输出%要在语句中填入%%
//ord现在是"1%06lld"
printf(ord,x);//1000035

总结

这题主要考察分支结构，循环结构，还对字符、数学位值原理有一定的考察。

送分到位，部分分充足，解法多样有趣。

解法到底有多少呢？哪怕只计算C++的常见写法：

• 对于特判：k<18，k<=18，x的位数<=k三种；
• 乘方计算：乘 10 法，预处理法（科学计数/手打一大波0），pow法四种；
• 位数计算：除 10 法，log10法，sprintf+strlen法，sprintf+printf法四种。

3\times 4\times 4=48 种。

B

分类讨论题，部分分其实都是针对分类的一部分。

• 如果 a=b=0，不需要进行任何操作，答案为 0。
• 如果 a=0,b\neq 0，使用一次操作 2 将 a 乘 b+1，b 除以 b+1 即可，由于只使用操作 1 不会使得两数都变为 0，这样做总代价一定是最小的，为 d，a\neq 0,b=0 同理。
• 如果 a=b\neq 0，有两种方法，第一种是使用一次操作 1，即可将两数都变为 0，第二种是使用两次操作 2，第一步将 a 乘 b+1，b 除以 b+1，这样 b 就变为 0 了，再将 b 乘 a+1（这里 a 是第一次操作后 a 的值），a 除以 a+1，即可使得两数都为 0，代价为 2\times d。由于不存在只使用一次 2 操作的方案（这样的话总代价为 d），答案必为两者中的较小值 \min(c,2\times d)，其它任何方案代价一定大于等于该值。
• 如果 a\neq b,a\neq 0,b\neq 0，有两种方法，第一种是用两次操作 2，与上面所说的相同，第二种是先用一次操作 1 将 a 和 b 中较小的那一个变为 0，再用一次操作 2 把另一个数变为 0，代价为 c+d，由于不存在只使用一次操作 1（总代价为 c）或只使用一次操作 2（总代价为 d）的方案，答案必为两者中的较小值 \min(c+d,2\times d)。

C

第一个点枚举 k 去判是否满足即可 第二个点枚举 k 的时候初始化求出小于等于每个 m 的答案，询问时 O(1) 第三个点 a_i 特别大，如果不能消掉大的部分就是-1，否则 k 的那一位一定是 1 第四五六个点的做法和正解差不多，只是最后用背包而不是贪心 将所有 a 换成二进制，统计每一位上有几个数为 1 ，这样问题就转换成有若干个物品， 每个物品花费 2 的若干次方，得到的价值为 2 的若干次方乘上一个数，每种物品有两个形态， 一个形态表示 k 这一位为 0 ，则价值乘上的数为 a 中这一位为 1 的数的个数， 另一个形态表示 k 这一位为 1 ，价值乘上的数为 a 中这一位为 0 的数的个数。 一开始我们先贪心求出一个 k 使 \sum a \, xor \, k 最小，这个贪心是显然的， 之后我们从高位往低位贪心求 k ， 如果这一位 k 已经为 1 ，则不用管直接继续下一位， 如果这一位 k 为 0，那么贪心取， 如果这一位 k 为 1 的价值加上已有价值小于等于 m 的话，那这一位一定为 1 ， 否则 k 这一位一定为 0 （为 1 就不符合题意了）最后输出得到的 k 就是答案 注意一下数据，这个数据很大，看似需要高精度，实际上只需要一个特判就可以判掉无解 使用 int128 也是可以的 时间复杂度 O(50(n+q))

D. Fallen Lord

Subtask 1

O(m^n) 大暴力搜索，甚至不用剪枝。

Subtask 2

读题分，输出 n-1。

Subtask 3

所有边都取两个端点的 a 值的 min，相加即可。

Subtask 4

发现点 u 周围的边权的中位数不超过 a[u] 的充要条件是 ：

u 周围的边权中有不少于 \lfloor\dfrac{d[u]}{2}\rfloor 个 \le a[u] 的数，相当于有不超过 \lfloor\dfrac{d[u]-1}{2}\rfloor 个 >a[u] 的数。

令 up[u]=\lfloor\dfrac{d[u]-1}{2}\rfloor。

其中 d[u] 表示 u 的度数。

假设那个度数为 n-1 的点是 u，剩下的点的集合是 \{v\}。

容易发现 v_i 的父边的权值 \le a[v_i]。

那么按照 a[v_i] 从大到小排序，接下来分类讨论：

• 如果有 > up[u] 个 > a[u] 的，那么取最大的 up[u] 个 a[v_i]，剩下的都取 min\{a[u],a[v_i]\}，相加。
• 否则的话，直接把所有 a[v_i] 相加。

当然也可以不排序，运用 nth\_element 就能做到 O(n)，这里不再赘述。

Subtask 5

考虑 dp。

dp[u][state] 表示 u 节点周围的状态为 state，0 表示 \le a[u]，1 表示 >a[u]。

需要保证这个 state 的 0 次位是他的父边的状态。

记录 max[u][0/1] 表示对于所有 0 次位为 0/1 的 state，dp[u][state] 的最大值。

对于每一个 v_i 分别求出它的父边 \le a[u] 和 >a[u] 时对 u 的最大贡献 val[i][0/1]，这个只需分类讨论即可。

接下来考虑计算 dp[u][state]，那么 state 的 1\sim d[u]-1 次位就对应着 u 的每一个儿子的父边的状态。

• 如果 state 第 i 位为 0，那么 val[i][0] 产生贡献。
• 否则 val[i][1] 产生贡献。

计算完所有 dp[u][state] 之后 max[u][0/1] 也很容易计算了。

时间复杂度 O(n\times 2^{max\{d[u]\}})

Subtask 6

发现并不关心具体是哪些边，可以考虑换一种方式 dp。

dp[u][i] 表示 u 的所有子节点的父边中有 i 个权值 >a[u]，u 的子树中边权和的最大值。

发现当 1\le i<up[u] 时，当前状态中 u 的父边可以 >a[u]，否则当前状态中 u 的父边只能 \le a[u]。

那么也就相当于这么一个问题：有 n 组物品，每组中都有 2 个不能同时选的物品。

第 i 组中有 1 个花费为 0 ，价值为 val[i][0] 的物品以及 1 个花费为 1 ，价值为 val[i][1] 的物品，

于是 u 节点的所有状态就能用普通的背包转移了。

时间复杂度 O(n^2)。

Subtask 7

考虑优化 dp 状态。

dp[u][0/1] 表示 u 节点的父边权值 能 / 不能 >a[u]，u 的子树中边权和的最大值。

同样求出 val[i][0] 和 val[i][1]，此时发现这个问题可以贪心解决。

现在相当于有初始价值 \sum val[i][0] 以及一些物品，每个物品花费都是 1，第 i 个价值为 val[i][1]-val[i][0]。

对于 0\sim up[u] 中的每一个数求出能获得的最大总价值。

那么直接按照 val[i][1]-val[i][0] 从大到小排序，将后面 <0 的舍弃掉，贪心求前缀和即可。

此时 dp 值也很容易就能计算出来。

时间复杂度 O(n\log n)，可以通过本题。

当然也可以不排序，运用 nth\_element 就能做到 O(n)，这里不再赘述。

E. Yoshino

Subtask 1

考虑暴力修改，暴力查询逆序对，复杂度 \operatorname O(n^3)。

Subtask 2

将逆序对改用归并排序或权值树查询，复杂度 \operatorname O(n^2\log n)。

Subtask 3

由于修改长度是 1，直接考虑使用树套树维护动态逆序对。在修改时查询 [1,l-1] 区间大于原数的和 [r+1,n] 区间小于原数的数的个数并减去，然后对新数做类似的查询并加上。在查询逆序对时，可直接输出。复杂度 \operatorname O(n\log^2 n )

Subtask 4

显而易见，在值域缩小的同时，修改区间也随之缩小。

于是我们可以考虑对每个值建一个树状数组，如果对应位置有这个值，则树状数组该位置的值就是 1，否则是 0。

在修改时，对 [1,l-1] 区间的每个值分别做一个查询并做一个后缀和，对 [r+1,n] 区间的每个值也做一个查询并做一个前缀和，然后对每个值，我们就可以用 \operatorname O(1) 的复杂度修改并维护了。

注意不要忘了清楚修改区间内部对逆序对的贡献，这部分可以暴力。

由于值域可以认为是 \operatorname O(\log n)，故此处的复杂度为 \operatorname O(n\log^2 n)。

Subtask 5

由于第两次操作一就会重置一次，我们可以考虑直接用数学方法计算出修改的贡献。

对于奇数次操作，直接重置，逆序对清零。

对于偶数次操作，分为 l<x 和 l>x 两种。

如果 l<x，则我们修改完后的该区间的值为 [x,x+r-l]，易知 [l,r] 与 [x,x+r-l] 的交集为 [x,l-1]。

则对于值在 [x,l-1] 区间的数，对逆序对的贡献显然是一个公差为 -1 的等差数列，我们可以直接对此进行求和。

而对于值在 [l,x-r+l] 区间的数，显然对逆序对没有贡献，直接忽略。

如果 l>r 则类似讨论。

于是，我们就可以 \operatorname O(1) 完成对逆序对个数的计数（注意此时我们并不需要直接修改这个数列），复杂度 \operatorname O(n)。

Subtask 6

考虑颜色段均摊。

这是一种类似于珂朵莉树的 trick（事实上这就是珂朵莉树的推平操作），复杂度为均摊 \operatorname O(n\times k)，其中 k 为单次修改的复杂度。

对于一个区间染色的操作，我们可以直接将一个区间维护为一个点，并且将他装入在 set 或其他容器中。

在修改时，我们在 set 中找到我们需要清除的所有区间（如果边界被包含则将边界所在的区间断开变成两个区间），并暴力将它们逐个清除，再插入新的区间。

为什么这样做的复杂度是正确的呢？我们可以来证明一下。

最初的时候，每个数单独构成一个区间，所以一共有 n 个区间。

而每次操作的时候，我们增加的区间包括断开左右边界区间时增加的两个区间，以及插入的新区间。

这样一来，整个操作过程中区间的总个数就是 n+3m 个。

而显然一个区间最多被插入一次，删除一次，且 nm 同级，所以复杂度为均摊 \operatorname O(n\times k)。

本题中的操作一并不是颜色段均摊，但显然可以用类似的方法，均摊 \operatorname O(n\times k) 完成修改。

但我们在修改的同时，还需要再维护一个动态逆序对，于是考虑令 k=\log^2n，使用树套树修改

考虑插入一个新段对逆序对的贡献（删除就将贡献减去）。

假设这个区间是 [l,r]，这个区间的值的范围是 [x,y](r-l=y-x)。

那么我们大致可以其他的数分为以下几类：

1. 位于 [1,l-1] 区间且值小于 x 的数。这类数没有贡献，直接无视。
2. 位于 [r+1,n] 区间且值大于 y 的数。这类数同样没有贡献，直接无视。
3. 位于 [1,l-1] 区间且值大于 y 的数。这类数对区间内的所有数都有贡献，只需统计个数并乘以 r-l+1。
4. 位于 [r+1,n] 区间且值小于 x 的数。这类数同样对区间内的所有数都有贡献，处理方法同上。
5. 位于 [1,l-1] 区间且值位于 [x,y] 之间的数。注意到，对于值为 t(t\in[x,y]) 的数，它对这个区间的贡献为 t-x，因为这个区间内前 t-x 个数的值会小于 t-x。于是我们可以对权值维护区间内的个数以及区间和，也就是一个范围内值在某个区间的数有几个，以及这几个数加起来是多少。然后用和减去个数乘以 x 就是我们所要的结果。
6. 位于 [r+1,n] 区间且值位于 [x,y] 之间的数。处理方式类似于第五类数。

这样一来，我们就在修改的同时完成了对逆序对的维护，而复杂度没有发生变化。

于是最终的复杂度就是 \operatorname O(n\log^2 n)。

总结

本题的难度并不高，没有涉及到很复杂的维护方法，也没有涉及到很高级的数据结构，主要还是对一些基本技巧的灵活应用。另外，有一个颜色段均摊的操作值得大家掌握。

为良心的出题人点赞！

F

性质 1

将这个图分成 nm 个 2 \times 2 个正方形，那么每个正方形中恰好有一个 1 \times 2。

证明：称 S 为所有被 1 \times 2 覆盖的格子的集合，那么 |S|=2mn。每个这样的 2 \times 2 中至多有两个格子属于 S。

然而所有 4mn 个格子中，恰好有一半的格子属于 S。所以每个 2 \times 2 中恰好 2 个，构成一个 1 \times 2。

从左上角的格子开始依次考虑，可以证明这些就是所有的魔力之石。

根据这个性质，称一个上述的分割中的 2 \times 2 的方格为 上，下，左，右 之一，取决于 1 \times 2 在它中的位置。

性质 2

一个 上 的方格的上方的方格也是 上 的，右边是 上 或者 右，左边是 上 或者 左。其他四种方格类似。

证明显然。

那么，结合以上两条性质，这个图大概是长这样的：

注意到，如果现在就要推式子等方法计算的话，这个生成函数肯定是二元的形式，难以计算，可以用矩阵做到 \Theta(n^6 \log m) 的复杂度，不详细说明。

这一步需要极高的技巧，相当于因式分解了那个难以刻画的二元生成函数。

用两条路径刻画这个图，一条从左上到右下，一条从左下到右上：

那么分成的四块就恰好是 上，下，左，右。

现在这题变成：左上走到右下，每次向右或者向下，有些地方不能走，求方法数。

不能走是因为有 k 个指定的位置，那么这些会限制这条路径。

当然，现在还没有明确说明哪些地方不能走，这里说清楚，下面的例子主要考虑左上到右下的路径。

限制就是，所有 下 的方格和所有 左 的方格和剩下两种方格被这条路径分成两半，也就是，如果把下和左看成 1，其余看成 2，那么这条路径将 1 与 2 分成两个部分。

现在让这个方格表左下为 (0,0)，右上为 (m,n)。如果一个 1 类方格的左下角为 (p,q)，那么这条路径不能经过任何 x\le p 并且 y \le q 的点，对于 2 类方格类似。下面的图表明了一种可能的能走与不能走的位置。

这里，红色的点表示不能走的点，绿色的线是一条合法的路径，黄色的线把能走到的地方分成了几个矩形。

矩形未必要有长与宽（可以为 0），可能用 s\times t 的点阵（ s,t \ge 1）来形容更加合适，下面 点阵 和 矩形 都代表这个意思。

这些矩形是有特殊要求的，不难发现不能走的地方构成了两个简单多边形，这两个多边形的边有水平的和竖直的，用竖直的边分割这个网格图得到了图中所示的矩形，后面的方法会说明为什么要这么分，可以通过上面的图更好的理解这些矩形是怎么刻画出来的。

当然，刻画这些矩形需要将所有放好的块排序并且利用单调栈维护，细节比较多，这里不细说。

考虑最基本的 dp 以及一个没有限制的图，令 dp[i][j] 为到 (i,j) 的合法路径数，那么 dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-1][j]。

这个式子可以化成 dp[i][j]=\sum_{k=1}^jdp[i-1][k]，也就是一个前缀和的形式。

注意到，如果按照上面的方式将合法区域划分为矩形，那么每个长为 t 的点阵就相当于做 t-1 次前缀和。

我们用到生成函数的知识，如果假设第 i 列（横坐标为 i 的所有点）从上到下的 dp[i][j](0 \le j \le n) 构成生成函数 F_i(x)=\sum dp[i][j]x^j，其中 0 \le i \le m，我们有递推式：

F_{i+1}(x)=\frac{F_i(x)}{1-x}，如果第 i 列与第 i+1 列在同一个矩形内；

如果不在同一个矩形内，一定在相邻两个矩形内，设这两个矩形的上下高度分别为 h_1,l_1,h_2,l_2，如图：

那么，这个生成函数，就是先保留原来 F_i(x) 在 h_2 到 l_1 次项的系数，然后对其做前缀和，为 G_{i+1}(x)，然后 F_{i+1}(x) 的系数，不大于 l_1 次项的与 G_{i+1}(x) 相同，l_1 到 l_2 次项用 G_{i+1}(x) 的 l_1 次项系数填充。

这个比较难以用式子进行刻画，所以只能通过文字进行解释。

我们并不需要求出所有的 F_i(x)，因为需要的甚至只是 F_m(x) 的一项系数，所以我们求出所有矩形两条宽所在列代表的多项式，相邻多项式之间的转移可以用多项式前缀和以及 NTT 优化就可以在 n \log n 的时间内完成，由于矩形一共 \Theta(n) 个那么这是 n^2 \log n 的，但是这不够优秀，瓶颈在求前缀和上。

如果不用做前缀和，剩下的操作甚至是 \Theta(n) 的。我们考虑一个稍微一般一点的问题：

维护一个多项式，支持三种操作：

（1）做若干次前缀和；（2）查一项系数；（3）加上一个单项式。

（在同一个矩形内的转移规约为（1）操作，相邻矩形转移可以查询 h_1 到 h_2 次项所有系数并依次减掉对应的单项式，然后再做一次前缀和，然后查询 l_1 次项的系数，最后在依次查询 l_1+1 到 l_2 次项的系数，把他们加上与 l_1 次项的系数的差）

此时解法几乎呼之欲出了：

维护一个多项式 Q(x) 与一个整数 t\ge 0，我们真实的多项式是 \dfrac{Q(x)}{(1-x)^t}，那么对于（1）操作直接修改 t，对于 2 操作可以 O(n) 求出卷积的一项，对于 3 操作将这个单项式乘以 (1-x)^t 后加到 Q(x) 上即可，时间复杂度 O(n^2)。